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Wenn wir das Muster der Zellen durch 2 teilbar fortsetzen, erhalten wir eine, die dem Sierpinski-Dreieck auf der rechten Seite sehr ähnlich ist. Formen wie diese, die aus einem einfachen Muster bestehen, das für immer fortzufahren scheint, während sie immer kleiner und kleiner werden, werden Fraktale genannt. Sie werden in Zukunft mehr über sie erfahren… Wenn Sie z. B. eine Münze dreimal hinschze, gibt es nur eine Kombination, die Ihnen drei Köpfe (HHH) gibt, aber es gibt drei, die zwei Köpfe und einen Schwanz (HHT, HTH, THH) geben, auch drei, die einen Kopf und zwei Schwänze (HTT, THT, TTH) und einen für alle Schwänze (TTT) geben. Dies ist das Muster “1,3,3,1” in Pascals Dreieck. Tony Fosters Beitrag auf der Facebook-Seite CutTheKnotMath zeigte auf das Muster, das die katalanischen Zahlen verbirgt: Unten sehen Sie eine Zahlenpyramide, die mit einem einfachen Muster erstellt wird: Sie beginnt mit einer einzigen “1” oben, und jede zelle ist die Summe der beiden Zellen direkt oben. Bewegen Sie den Mauszeiger über einige der Zellen, um zu sehen, wie sie berechnet werden, und füllen Sie dann die fehlenden aus: Zuerst sieht es völlig zufällig aus (und es ist), aber dann finden Sie die Kugeln in einem schönen Muster stapeln: die Normalverteilung. Einige Muster in Pascals Dreieck sind nicht ganz so leicht zu erkennen.

Markieren Sie im Diagramm unten alle Zellen, die gerade sind: Probieren Sie dies aus: Machen Sie ein Muster, indem Sie nach oben und dann entlang gehen, dann addieren Sie die Werte (wie dargestellt) … erhalten Sie die Fibonacci-Sequenz. (Die Fibonacci-Sequenz beginnt “0, 1” und fährt dann fort, indem die beiden vorherigen Zahlen hinzugefügt werden, z. B. 3+5=8, dann 5+8=13 usw.) Um das Dreieck zu erstellen, beginnen Sie mit “1” an der Spitze, und platzieren Sie dann weiterhin Zahlen darunter in einem dreieckigen Muster. Jede Zahl ist die Zahl direkt darüber addiert. Pascals Dreieck kann mit einem sehr einfachen Muster erstellt werden, aber es ist mit überraschenden Mustern und Eigenschaften gefüllt. Deshalb fasziniert es Mathematiker auf der ganzen Welt seit Hunderten von Jahren. Natürlich hat jedes dieser Muster einen mathematischen Grund, der erklärt, warum es erscheint. Vielleicht können Sie einige von ihnen finden! Wenn Sie die Odd- und Even-Zahlen färben, haben Sie ein Muster, das mit dem Sierpinski-Dreieck identisch ist Das Dreieck wird auch häufig symmetrisch angezeigt, wobei jede Zeile zentriert ist, wie in der folgenden Abbildung. Viele Menschen haben die Muster untersucht, die in den Zahlen in Pascals Dreieck zu finden sind (siehe z.B.

Brown und Hathaway, 1997; Granville, 1992, 1997; Long, 1981; und Wolfram, 1984). Wir werden einen Ansatz für die Suche nach Mustern in allgemeinen Versionen des Dreiecks diskutieren. Underfatigble Tony Foster fand Würfel in Pascals Dreieck in einem Muster, das er zu Recht als Davidstern bezeichnet – ein weiterer Auftritt dieses Gleichnisses in Pascals Dreieck.: Ein Beitrag auf der HardTheKnotMath-Facebook-Seite von Daniel Hardisky machte mich auf folgendes Muster aufmerksam: Pascals Dreieck verbirgt eine große Anzahl von verschiedenen Mustern, von denen viele von Pascal selbst entdeckt wurden und sogar vor seiner Zeit bekannt waren. “Wenn man sich verschiedene Richtungen von Pascals Dreieck anschaut, sieht man verschiedene Zahlenmuster und eines der Muster war eins, drei, sechs, zehn, 15, 21. Dies ist eine Sequenz, die wir in unseren Daten bemerkt haben, also wurde es ein herausfordernder Hinweis darauf, was tatsächlich vor sich ging. Die Entdeckung brauchte einige Zeit, um zu verstehen, aber es war, weil wir zunächst nicht erkannten, dass wir Teilchen aus einem Elektron, zwei Elektronen, drei Elektronen und so weiter betrachteten. Wenn man das alles zusammenbringt, erhält man die Reihenfolge von 1,3,6,10.” Muster gibt es überall in Kunst, Natur, Wissenschaft und vor allem Mathematik.